Общие аксиомы конструктивной геометрии

Фигурой в геометрии называют любую совокупность точек (содержащую по крайней мере одну точку).

Будем предполагать, что в пространстве дана некоторая плоскость, которую назовем основной плоскостью. Ограничимся рассмотрением только таких фигур, которые принадлежат этой плоскости.

Одна фигура называется частью другой фигуры, если каждая точка первой фигуры принадлежит второй фигуре. Так, например, частями прямой будут: всякий, лежащий на ней отрезок, лежащий на этой прямой луч, точка на этой прямой, сама прямая.

Соединением двух или нескольких фигур называется совокупность всех точек, принадлежащих хотя бы одной из этих фигур.

Пересечением или общей частью двух или нескольких фигур, называется совокупность всех точек, которые являются общими для этих фигур.

Разностью двух фигур Ф и Ф называется совокупность всех таких точек фигуры Ф, которые не принадлежат фигуре Ф.

Может оказаться, что пересечение (или разность) двух фигур не содержит ни одной точки. В этом случае говорят, что пересечение (или соответственно разность) данных фигур есть пустое множество точек.

Раздел геометрии в котором изучаются геометрические построения, называют конструктивной геометрией. Основным понятием коструктивной геометрии является понятие построить геометрическую фигуру.

Если о какой-либо фигуре сказано, что она дана, то при этом естественно подразумевается, что она уже изображена, начерчена, т.е. построена. Таким образом, первое основное требование конструктивной геометрии состоит в следующем:

Каждая данная фигура построена.

Заметим, что не следует смешивать понятия «данная фигура» и «фигура, заданная (или определенная) такими-то данными ее элементами».

Представим себе, что построена полуокружность АmВ (рис. 1), а также построена и полуокружность АnВ. Конечно, после этого надо считать, что построена вся окружность АmВnА. Точно так же, если построен луч АМ некоторой прямой (рис. 2), а затем луч ВN считается, что построена прямая МN, той же прямой, то, естественно, являющаясч соединением этих лучей. Эти примеры разьясняют смысл следующего постулата:

Если построены две (или более) фигуры, то построено и соединение этих фигур.

Представим себе, что построены два отрезка одной прямой: АВ и СD. Естественно, считается возможным ответить на вопрос, принадлежит ли отрезок СD целиком отрезку АВ (рис. 3а) или нет (рис. 3б). Если построена окружность и точка, то при непосредственном рассмотрении чертежа можно ответить на вопрос, лежит ли построенная точка на построенной окружности или нет. Вообще, если построены две фигуры, то считается известным, является ли одна из них частью другой или нет.

Третье основное требование теории геометрических построений можно выразить следующим образом:

3. Если построены две фигуры, то можно установить, является ли их разность пустым множеством или нет.

Пусть А, В, С, D – четыре точки прямой (рис. 4). Допустим, что отрезки АВ и СD построены. Тогда мы, конечно, будем считать построенными как отрезок АВ, который является разностью отрезков АС и ВD, так и отрезок СD, который является разностью отрезков ВD и АС.

4. Если разность двух построенных фигур не является пустым множеством, то эта разность построена.

Построив две прямые, мы всегда считаем возможным сказать, пересекаются они или нет. Точно так же, если две окружности построены, то мы считаем возможным установить (по чертежу), имеют ли они общие точки. Это же относится к любым двум построенным фигурам. Таким образом:

5. Если две фигуры построены, то можно установить, является ли их пересечение пустым множеством или нет.

С точки зрения чертежной практики последнее условие отражает определенные требования к качеству выполненных чертежей. Так, например, если построены некоторая окружность и точка, то должно быть ясно, лежит ли точка на окружности или нет. Если построены две окружности, то можно сказать, имеют ли они общие точки или нет.

Обратимся еще раз к рисунку 4. Пусть известно, что построены отрезки АС и ВD. В этом случае мы будем также считать построенным и отрезок ВС, который является пересечением этих двух отрезков. Если начерчены две пересекающиеся окружности, то мы будем считать построенной также пару точек их пересечения. Такого рода соглашения вы ражаются следующим образом:

6. Если пересечение двух построенных фигур не пусто, то оно построено.

В следующих трех основных требованиях говорится о возможностях построения отдельных точек.

7. Можно построить любое конечное число общих точек двух построенных фигур, если такие точки существуют.

8. Можно построить точку, заведомо принадлежащую построенной фигуре.

9. Можно построить точку, заведомо принадлежащую построенной фигуре.