Роль мысленного эксперимента в структуре геометрического доказательства

«Мысленный эксперимент …совершается посредством специально сконструированных идеальных объектов, которые не существуют натурально» [17]. Поскольку мы определили геометрический объект, как идеальную сущность реальной составляющей вещи, то любое действие по изменению и преобразованию такого объекта можно было бы рассматривать как мысленный эксперимент. В этом смысле в геометрии: «…мысленный эксперимент …нельзя выделить, как отдельную деятельность…она является …переходом от представления математического объекта – эйдоса, идеи к формально-логической структуре математической теории» [14, с. 20].

Результаты такого мысленного эксперимента должны: «…приобрести теоретическое значение» [17], выражаемое в теоремах геометрии, аксиоматическое построение которой требует их «жесткого» доказательства, согласно канонам дедуктивной логики.

Мысленный эксперимент присутствует в самом геометрическом объекте, он неотделим от него. Ведь понимание таких основных геометрических понятий, как «точка», «прямая» уже требует идеализации и абстрагирования, а последующее их «собирание» в геометрическую фигуру – мысленного конструирования. Дальнейшее оперирование такими мысленными конструкциями приводят к появлению различных фактов – геометрических теорем.

«В процессе открытия геометрических истин [теорем] несомненно использовались индукция и мысленный эксперимент…Возникновение собственно научной геометрии связанно с дедуктивной логикой, выступающей в форме анализа и синтеза, причем анализ применялся не только как метод доказательства, но и как метод открытия теорем» [19, с. 363].

Анализируя аксиоматическое построение «Начал», Черняк пишет о двойственной роли евклидовых аксиом: с одной стороны аксиомы предоставляют собой логические правила вывода, с другой – аксиомы являются общими правилами или законами геометрической конструкции. Они задают руководящие принципы (например, принцип равенства), без которых невозможно решать задачи на построение. «Отсюда …предположение, что геометрия в своей предаксиоматической, интуитивной стадии использовало то, что впоследствии было названо аксиомами, в качестве интуитивно ясных принципов конструкции» [19, с. 317].

Такой подход Черняка к евклидовым «Началам» можно назвать «конструктивно-экспериментальным», где любое конструирование геометрической фигуры – есть мысленный эксперимент (см. введение, с.3). «Мысленный эксперимент имеет дело с идеализированными схемами эмпирического опыта, а его основной метод состоит в производстве различного рода вариаций, позволяющих мысленно обозреть все возможные случаи» [19, с. 353] – пишет Черняк.

По его мнению, греки отвергли экспериментальный способ обоснования геометрии потому, что его идея была несовместима с духом греческой науки и философии. Ведь мысленный эксперимент подразумевает движение (в воображении), а оно: «…есть нечто вторичное, оно предполагает материю, хотя и «интеллигибельную»» [19, с. 361]. Вычерчивание же линий на папирусе, песке или бумаге, есть уже чувственное подобие движения в фантазии.

Все что возникает подвержено изменению и исчезновению, а это противоречило представлениям греков о неизменности истинного знания. Воззрение древних было такого, что они презирали эксперимент и верили, что бытие можно познать посредством чистого мышления. «Посредством чувственного восприятия нельзя знать общее…ибо чувственно необходимо воспринимается отдельное, между тем как научное знание есть познание общего» [19, с. 361].

Исходя из выше изложенного, можно предположить, что мысленный эксперимент является своего рода «средой» существования геометрического объекта, где роль особых условий выполняют аксиомы, а внутренняя упорядоченность его «элементов» - роль системы связей. Конструирование геометрического объекта и оперирование с ним в такой «среде» ведет к открытию геометрического факта - теоремы.

В структуре геометрического доказательства практически всегда используются такие конструкции, как «дополнительные построения», выражаемые в словах типа: «проведем – достроим – поместим». После чего, используя дедуктивные рассуждения, выводится доказываемый факт. В таких «дополнительных построениях» по сути, свернут акт мысленного эксперимента, позволяющего схватить идею открытия теоремы, а значит и идею доказательства.

В современных учебниках по геометрии (Погорелов, Атанасян) идеи таких «дополнительных построений» не раскрываются, а их необходимость понимается лишь только тогда, когда доказательство теоремы завершено.

«Сконструировав» открытие теоремы как некоторого мысленного эксперимента с геометрической фигурой и изложив ее доказательство с использованием выделенной Библером, и отмеченной Давыдовым, структуры мысленного эксперимента (см. с. 24), мы предполагаем, что у школьника может произойти оформление «для себя» идеи формально-дедуктивного доказательства теоремы.