Мысленный эксперимент в структуре геометрического доказательства

Мысленный эксперимент, оформившийся в XX веке в действенный метод получения новых теоретических знаний, до настоящего времени успешно применялся в естествознании. Классическим примером мысленного эксперимента является рассуждение Галилея при формулировании «принципа инерции» или рассуждение Больцмана, введшего понятие «демона Максвелла».

При этом мысленный эксперимент понимался как научный метод «сложных» естественных наук, наук с развитым теоретическим аппаратом, например, таких как физика. В отношении математики, мысленный эксперимент не рассматривался, что объяснимо высокой степенью абстракции и идеализованностью ее объектов.

Черняк В.С., анализируя систему «Начал» Евклида в работе «История. Логика. Наука» , одним из первых выдвинул гипотезу о возможности выделения мысленных экспериментов в ее структуре геометрических рассуждений. Он предложил рассматривать «предложения «Начал» Евклида как мысленные эксперименты», «как результат некоторых конструктивных операций, посредством которых из элементарных абстрактных объектов - точки, прямой, окружности, плоскости – строятся более сложные конструктивные объекты».

И. Лакатос, в работе «Доказательство и опровержения» высказывает мысль о том, что суть любого доказательства в математике – это мысленный эксперимент, а формой, в которой осуществляется мысленный эксперимент, является доказательство: «Доказательство тогда доказывает, когда оно протекает как мысленный эксперимент».

Ольшевская Н.А., определив мысленный эксперимент как основной метод появления и развития научно-геометрических понятий, указывает: «Связь трансценденции с математической системой определений, теорем и дедуктивных доказательств, описывающих геометрические объекты, осуществляются посредством мысленного эксперимента» .

Аронов А.М. и Минеев В.Г. использовали понятие мысленного эксперимента, показав возможность решения некоторых школьных математических задач с использованием процедуры мысленного эксперимента.

Нам представляется актуальным

выделение мысленного эксперимента, как важного компонента структуры геометрического доказательства. Мы считаем, что мысленный эксперимент присутствует в структуре геометрических рассуждений и может быть специально использован при обучении на уроках геометрии.

В настоящий момент, в традиционных учебниках геометрии Погорелова А.В. [15] и Атанасяна Л.С. [3], большая часть теорем доказывается по принципу: известно то-то и то-то, отсюда следует это, а из этого вытекает необходимое нам утверждение. Очевидно, что при таком подходе: «ученику остается непонятным, откуда взялась идея доказательства» [6,с.14]. Доказательство: «при таком подходе не мотивировано, а это собственно и подтверждает понятие ученика о геометрии как о чём-то, что можно только выучить, но нельзя понять» [11,с.28].

Это, конечно же, является негативным фактом, ведь геометрия – это не только наука о практическом измерении геометрических фигур и изучении их свойств, но и, по мнению Бычкова С.Н – особая предметная область, способствующая зарождению и становлению особого дедуктивного способа рассуждения [7,8].

Бычков В.С., анализируя статью Колмогорова А.Н. «Математика» [10], не соглашается с идеей автора о том, что практика общественных споров могла быть достаточным основанием для появления дедуктивного метода. Он считает, что: «подлинный источник идеи аксиоматического способа рассуждений находится в области, специфическое содержание которой способно породить из себя идеи аксиоматики такой наукой может быть только геометрия» [8, с.6].

Именно связь дедуктивной логики и мысленного эксперимента способствует получению новых геометрических знаний (теорем) с последующим их формально-дедуктивным обоснованием. Это хорошо согласовывается с логикой построения основного (систематического) курса геометрии, где: «опираясь на простейшие дедуктивные обоснования и навыки работы с геометрическими объектами, сформированные в пропедевтическом курсе геометрии, как на истинные суждения, выводится более широкий набор геометрических знаний» [2, с.82-83]. Таким образом, мысленный эксперимент получает статус метода получения новых геометрических знаний.

Структуру мысленного эксперимента необходимо переложить на структуру доказательства школьных геометрических теорем. Данная работа представляет собой часть этого процесса – а именно «конструирование» доказательств таких теорем с использованием мысленного эксперимента.

Цель дипломной работы

– «сконструировать» доказательства некоторых школьных геометрических теорем, используя структуру мысленного эксперимента.

Объект:

формулировки некоторых школьных геометрических теорем.

Предмет:

«конструирование»

доказательств школьных геометрических теорем с использованием метода мысленного эксперимента.

Гипотеза

: Школьные теоремы геометрии можно доказывать, используя понятие о мысленном эксперименте.

Такая постановка цели и гипотезы дипломной работы требует решения следующих задач:

1. Описать структуру мысленного эксперимента;

2. Обозначить особенность геометрического объекта как идеальной конструкции;

3. Обозначить роль мысленного эксперимента в геометрии.

• Мысленный эксперимент в концепции В.С. Библера
• Мысленный эксперимент в теории развивающего обучения Давыдова В.В
• Структура геометрического объекта
• Роль мысленного эксперимента в структуре геометрического доказательства
• Построение геометрического доказательства школьных теорем с использованием мысленного эксперимента
• Теорема о соотношении между сторонами и углами треугольника
• Теорема о сумме углов треугольника