Общая структура математических способностей по В.А. Крутецкому

В этом параграфе представлена общая структура математических способностей в школьном возрасте по В.А. Крутецкому. Она рассматривается исходя из основных этапов решения задач: I. получение математической информации; II. переработка математической информации; III. хранение математической информации. Каждому из этапов I - III соответствует одна или несколько математических способностей. Приведем описание каждой математической способности с выделением действий, которые присущи каждой способности и описание протоколов решения задач способными и неспособными учениками, описанные Вадимом Андреевичем Крутецким в книге [8].

Способности, необходимые для получения математической информации

Способность к формализованному восприятию математического материала, схватывания формальной структуры задачи

Характеристика способности. Эта математическая способность проявляется в стремлении к своеобразной формализации структуры математического материала в процессе его восприятия. Под формализацией понимается быстрое «схватывание» в конкретной задаче, в математическом выражении их формальной структуры, когда все содержательное (числовые данные, конкретное содержание) словно выпадает и остаются чистые соотношения между показателями, характеризующие принадлежность задачи или математического выражения к определенному типу. Формализованное восприятия – это своего рода обобщенное восприятие функциональных связей, отдельных от предметной и числовой формы, когда в конкретном воспринимается его общая структура.

Действия, представленные за данной способностью. При наличии данной математической способности школьники выполняют следующие действия:

выделять различные элементы в математическом материале задачи;

давать элементам математического материала задачи различную оценку;

систематизировать элементы математического материала задачи;

объединять элементы математического материала задачи в комплексы;

отыскивать отношения и функциональные зависимости элементов математического материала задачи.

Первые три действия направлены на восприятия математического материала задачи аналитически, другие же направлены на синтетическое восприятие математического материала задачи.

Особенности выполнения I этапа решения задач учащимися, обладающие этой способностью. Для выяснения особенности восприятия математического материала В.А. Крутецкий используется серия «Системы однотипных задач». Эта серия рассчитана на учащихся, еще незнакомых с формулами сокращенного умножения. Исследовалось, как учащиеся могут выделить основное, главное, существенное с точки зрения типа задачи, отвлечься от несущественного, второстепенного, от деталей. При помощи этой серии исследуется также процесс обобщения – подведение объектов под только что, сформировавшееся в своей основе понятия.

Рассмотрим решение одного из тестов серии «Системы однотипных задач» направленного на выяснения овладения этой способностью способными к математике и неспособными к математике учащимися. Серия представляет собой своеобразную «лестницу задач» одного и того же типа, от наиболее простой к весьма сложной. Выясняется, как сумеет испытуемый доказать, что данная задача, несмотря на ее внешнее отличие, принадлежит к тому же самому типу, и как, учитывая конкретные особенности задачи, он собирается решать ее по общей схеме решения задач установленного им типа.

Приведем наглядный пример, как справлялись с одной из задач этой серией способные к математике ученики и неспособные.

Способные ученики при решении задачи на применение формулу сокращенного умножения (a+b)2. Они легко выделяют существенные для данного типа моменты (сумма двух алгебраических выражений в квадрате), равно как и несущественные для данного типа (конкретная величина и характер алгебраических выражений, составляющие число a и b). Другими словами имела место своеобразная формализация структуры задачи при ее восприятии, когда задача (например, 6ах+1/2by)2 «схватывалась в такой форме: (›+›)2=.