Общая структура математических способностей по В.А. Крутецкому

Способность к быстрому и широкому обобщению математических объектов

Характеристика способности. Способность к обобщению математического материала рассматривается в двух планах: 1) как способность человека увидеть в частном, конкретном уже известном ему общее (подведение частного случая под известное общее понятие) и 2) способность увидеть в единичном, частном пока еще неизвестное общее (вывести общее из частных случаев, образовать понятие). Одно дело – увидеть возможность применение к данному частному случаю уже известной ученику формулы, другое – на основание частных случаев вывести формулу, еще неизвестную ученику.

Действия, представленные за данной способностью. При наличии данной математической способности школьники выполняют следующие действия:

видят сходную ситуацию в сфере числовой и знаковой символики (где применить);

владеют обобщенным типом решения, обобщенной схемой доказательства, рассуждения (что применить).

И в том и другом случае необходимо отвлечься от конкретного содержания и выделить сходное, общее и существенное в структурах объектов, отношений или действий.

Особенности выполнения II этапа решения задач учащимися, обладающими данной способностью. На выявление этой способности В.А. Крутецкий предлагает серию задач, которая уже использовалась для проверки математической способности – способность к формализованному восприятию математического материала.

Приведем пример решения одной из задачи этой серии. После решения примера на применение формулы «квадрат суммы» дается способному ученику для решения пример: (C+D+E)(E+C+D). Ученик применяет формулу и пишет (C+D+E)2 и соединяет два члена – (C+(D+E))2 после чего непосредственно применяет формулу и раскрывает скобки.

Неспособные к математике ученик, усвоив формулу (a+b)2 и принцип рассуждения приступает к решению примера (1+а3b2)2.

Эксп.: А вот этот пример можно решить по формуле сокращенного умножения?.

Уч.: Здесь что-то другое – и a и b справа и не разделяются плюсом… (пишет: ». Эксп.: «Куда же делась единица?. Ученик молчит.

Эксп.: Ну а реши такой пример: (2x+y)2.

Ученик пишет, повторяя вслух формулу: 4x2+2×2x×y+y2=4x2+4x+y2.

Эксп.: Верно. Вот так же решай и предыдущую задачу.

Уч.: А здесь что-то другое… квадрат первого – это .

Эксп.: Давай рассуждать вместе. Чтобы применить формулу, надо убедиться, что мы имеем дело с квадратом суммы двух чисел. Тебе ясно, что это квадрат?

Уч.: Вот здесь (показывает) цифра 2 показывает, что-то, что в скобках, надо помножить само на себя.

Эксп.: Верно. А в скобках двучлен? Покажи, где первый член, первое «число».

Уч.: …или нет, что я говорю… между членами должен быть знак плюс. Тут нет первого члена, только второй.

В дальнейшем ученик все же решает данный пример с помощью экспериментатора.

Способность к свертыванию процесса математического рассуждения и системы соответствующих действий. Способность мыслить свернутыми структурами

Характеристика способности. Наряду с развернутыми умозаключениями в умственной деятельности школьников при решении задач занимает определенное место и свернутые умозаключения, когда ученик не осознает правила, общего положения, в соответствии с которыми он фактически действует.

Действия, представленные за данной способностью. При наличии данной математической способности школьники выполняют действие - свертывание умозаключений.