Общая структура математических способностей по В.А. Крутецкому

Приведем пример как способные, и неспособные учащиеся решали эти задачи:

Способный ученик овладел типом решения по формуле «произведения суммы двух чисел на их разность равно разности квадратов этих чисел».

Ему предлагается разложить на множители выражение (x-y)2-25y8. Он тут говорит, что эта задача наоборот и тут уже есть разность квадратов и записывает выражение (x-y+5y4) (x-y-5y4). Свое решение он объясняет, что нужно подумать из чего получились квадраты и взять сумму этих чисел и помножить на разность.

Неспособный ученик с трудом, после большого количества упражнений, овладел способом решения задач по этой формуле.

Эксп.: Реши задачу 5×5=(ученик дает верный ответ). А теперь реши такую: какие числа надо перемножить, чтобы получить 25 (ученик дает верный ответ). Теперь смотри 5×5=25, а 25=5×5. Вторая задача обратная первой. Реши задачу (2x+y)(2x-y)= (ученик дает верный ответ). Правильно. Но если (2x+y)(2x-y)=4x2-4y2, то наоборот можно ли сказать, что 4x2-4y2= (2x+y)(2x-y)? (Ученик дает утвердительный ответ). А 9x2-4y2 чему равняется?

Уч.: Не знаю. Это какие-то чудные задачи. Мы такие не решали.

Эксп.: Да, не решали, но учимся решать. Вот ты подумай: чему равно произведение суммы двух чисел на их разность? Это ты знаешь.

Уч.: Произведение суммы двух чисел на их разность равняется квадрату первого минус квадрат второго.

Эксп.: Верно. А обратно можно сказать? Чему равна разность квадратов? Чему равно a2-b2?.

Уч.: a2-b2=(a+b)(a-b).

Эксп.: А 9x2-4y2 чему равно?

Уч.: (9x+4y)(9x-4y)…

Дальнейший ход беседы опускаем. Лишь после многократных пояснений и упражнений ученик научился решать задачи этого типа, да и только простейшие.

Способности, необходимые для хранения математической информации

Математическая память (обобщенная память на математические отношения, типовые характеристики, схемы рассуждений и доказательств, методы решения задач и принципы подхода к ним)

Характеристика способности. Сущность математической памяти заключается в обобщенном запоминании типовых схем рассуждений и действий. Что же касается памяти на конкретные данные, числовые параметры, то она «нейтральна» по отношению к математическим способностям.

Действия, представленные за данной способностью. При наличии данной математической способности школьники выполняют следующие действия:

запоминают типовые признаки задач и обобщенные способы их решения, схемы рассуждений, основные линии доказательств, логические схемы;

сохраняют в памяти типовые признаки задач и обобщенные способы их решения, схемы рассуждений, основные линии доказательств, логические схемы.

Особенности выполнения III этапа решения задач учащимися, обладающими данной способностью. Способные ученики в большинстве случаев довольно долго помнят тип решенной ими в свое время задачи, общий характер действий, но не помнят конкретных данных задачи, чисел. Неспособные, наоборот, помнят только конкретные числовые данные или конкретные факты, относящиеся к задаче. Если неспособный помнит, что решал «какую-то задачу с клетками и кроликами», или «что-то про рыбу, которая весит 2 пуда», то способный обычно гораздо чаще помнит тип задачи: «Решал задачу на различные сочетания частей целого – про рыбу, у которой хвост с головой весит столько-то, а голова с туловищем – столько-то, и хвост с туловищем - еще столько-то».

Выделенные способности тесно связаны, влияют друг на друга и образуют в своей совокупности единую систему, целостную структуру, своеобразный синдром математической одаренности, математический склад ума.

Не входят в структуру математической одаренности те способности, наличие которых в этой системе не обязательно (хотя и полезно). В этом смысле они являются нейтральными по отношению к математической одаренности. Однако их наличие или отсутствие в структуре (точнее, степень их развития) определяют тип математического склада ума. Не являются обязательными в структуре математической одаренности следующие компоненты: