Общая структура математических способностей по В.А. Крутецкому

Неспособных учеников отличает инертность, косность, скованность мысли в сфере математических отношений и действий, устойчивый, стереотипный характер действий, навязчивое удерживание в сознании предшествующего принципа решений, способа действий, оказывающего тормозящее влияние при необходимости перестроить действие, что определяет ярко выраженную затрудненность и переключении от одной умственной операции к другой, качественно иной.

Стремления к ясности, простоте решения, экономности и рациональности решения

Характеристика способности. Эта особенность математического мышления способных к математике учащихся тесно связана с предыдущей. Для способных учеников весьма характерно стремление к наиболее рациональным решениям задач, поиски наиболее ясного, кратчайшего, а, следовательно, и наиболее «изящного» пути к цели. Это выглядит как своеобразная тенденция к экономии мысли, выражающееся в поисках наиболее экономных путей решения задач.

Действия, представленные за данной способностью. При наличии данной математической способности школьники выполняют следующие действие – находят наиболее рациональное решение задачи.

Особенности выполнения II этапа решения задач учащимися, обладающими данной способностью. Эту способность Вадим Андреевич выяснял при помощи «Задачи на соображение логическое рассуждение». Для этого он сопоставлял реальный процесс рассуждения школьника с максимально развернутым. Сравнивал количество и характер «звеньев» в том и другом случае, они сопоставляются с характером и количеством звеньев действительно развернутой структуры.

Например, способный ученик решал задачу: «Найти наименьшее число, которое при деление на 3 дает остаток 1, при делении на 4 дает остаток 2, при делении на 5 дает в остатке 3 и при делении на 6 дает в остатке 4» Способный ученик прежде всего нашел наименьшее общее кратное данных чисел (60) и произнес: «60-2=58. Это число 58». По просьбе экспериментатора пояснил: «Я представил все числа и остатки столбиком и сразу увидел, что во всех случаях разница между делителем и остатком – 2. Значит, если добавить к искомому числу 2, то оно разделится на все числа без остатка. Наименьшее из таких чисел – 60. Но теперь уберем двойку – будем 58».

Неспособные учащиеся не обращают особого внимания на качество решения. Они прекращают работу после над задачей и не задаются вопросом: «А нельзя ли решить проще, яснее?».

Способность к быстрой и свободной перестройке направленности мыслительного процесса, переключению с прямого на обратный ход мысли (обратимость мыслительного процесса при математическом рассуждении)

Характеристика способности. Под обратимостью мыслительного процесса понимается перестройка его направленности в смысле переключения с прямого на обратный ход мысли. Это понятие объединяет два разных, хотя и связанных друг с другом процесса.

Во-первых, это установление двухсторонних (или обратимых) ассоциаций (связей) А«Б в противоположность односторонним связям типа А®Б, функционирующим только в одном направлении.

Во-вторых, это обратимость мыслительного процесса в рассуждении, обратное направление мысли от результата, продукта к исходным данным, что имеет место, например, при переходе от прямой к обратной теореме.

Действия, представленные за данной способностью. При наличии данной математической способности школьники выполняют следующие действие - перестраивать мыслительный процесс с прямого на обратный ход мыслей.

Особенности выполнения II этапа решения задач учащимися, обладающими данной способностью. Для выяснения этой способности В.А. Крутецкий предлагал серию задач «Прямые и обратные задачи». В этой серии включены парные задачи – прямая и обратная. Обратными задачами условно называются те, которые по сравнению с исходными (прямыми) задачами при сохранении сюжета искомое входит в состав условия, а один или несколько элементов условия становятся искомыми.