Общая структура математических способностей по В.А. Крутецкому

Неспособные же учащиеся узкоограниченно представляли себе «первое» и «второе» число в этой формуле, им было трудно понять, что a и b обозначают любую величину и любое алгебраическое выражение. Поэтому они и не улавливали самостоятельно структурного «костяка» задачи.

Способности, необходимые для переработки математической информации

Способность к логическому рассуждению в сфере количественных и пространственных отношений, числовой и знаковой символики

Характеристика способности. Одной из особенности математики является алгоритмичность решения многих задач. Алгоритмом, как известно, называется определенное указание относительно того, какие операции и в какой последовательности надо выполнить, чтобы решить любую задачу некоторого типа. Алгоритм представляет собой обобщение, так как применим ко всем задачам соответствующего типа. Конечно, очень большое количество задач не алгоритмизируется и решается с помощью специальных, особых приемов. Поэтому способность находить пути решения, не подходящие под стандартное правило, является одной из существенных особенностей математического мышления.

Действия, представленные за данной способностью. При наличии данной математической способности школьники выполняют следующие действия:

логически рассуждают (доказывать, обосновывать);

оперируют специальными математическими знаками, условными символическими обозначениями количественных величин и отношений и пространственных свойств;

переводят на язык символов.

Особенности выполнения II этапа решения задач учащимися, обладающими данной способностью. Для выяснения этой способности применяется серия «Задачи на доказательство». Серия представляет собой систему однотипных задач, все усложняющихся доказательств.

Для примера возьмем решения задачи способным и неспособным учеником.

Вот как решал задачу способный ученик: «Доказать, что сумма любых трех последовательных чисел делится на 3 (при любом целом значении а)». Последовательные числа – это такие числа, когда каждое из последующих на единицу больше предыдущего, так кажется? Как же тут доказать? 2, 3 и 4 в сумме действительно делятся на 3; 12, 13, 14 тоже в сумме дают 39. Можно доказать так: сумма трех одинаковых чисел, разумеется, делится на 3. Да еще прибавляются 3 единицы (второе число на единицу, а третье – на две единицы больше первого), которые тоже делятся на 3. Можно и алгебраически доказать: х+(х+1)+(х+2)=3х+3=3(х+1). Последнее выражение всегда можно разделить на 3, каково бы ни было исходное число х.

Вот как справляется с подобной задачей неспособный ученик.

Задача. Задумайте любое число, умножьте его на число, больше задуманного на 6 и прибавить 9. Доказать, что полученный результат является квадратом.

Уч.: А что значит «является квадратом? Квадратом какого числа?

Эксп.: Есть числа, которые не являются квадратом какого-либо числа, например 13 или 20. А есть числа, которые являются результатом возведения в квадрат какого-либо числа, например 9 (т.е.3).

Уч.: Понятно. А здесь как доказывать?

Эксп.: Подумай. Примени, способ алгебраического доказательства. Сказано: «Задумайте любое число». Как в алгебре обозначается «любое число»?

Уч.: А теперь знаю: х×(х+6)+9=х2+6х+9. Вот х2 и есть квадрат задуманного числа.

Эксп.: Ты взял только часть результата. А тебе нужно доказать, что весь полученный результат есть квадрат какого-то числа. Квадратом какого выражения является полученный тобой результат? Вспомни формулы сокращенного умножения?

Уч.: Знаю. Получится (х+3)2. (дает ответ не сразу).

Эксп.: Но всегда ли в результате получится квадрат?

Уч.: Не знаю.

Лишь после продолжительного разъяснения экспериментатора ответил: «По-моему, всегда, так как мы брали любое число».